수식을 나타내기 위해서는 기호가 필요하다.
기호를 쓰는 논리라고 해서 수학을 기호논리학이라고도 한다.
수학은 수를 이용한 학문이다.
수를 그냥 셈하는 것은 단순한 작업이지만 숫자 표기가 필요하다.
옛 사람들이 수를 표기하는 방법에 대하여는 좋은 책들이 많으므로 여기서 소개하지 않기로 한다.

그런데, 숫자들 사이에 어떤 상관 관계가 있는지 알아보기 위하여,
실생활에서 필요한 연산을 위하여,
그리고 어떤 목적 하에 숫자들을 서로 연관시켜 어떤 논리적 관계를 밝히기 위하여
연산자를 만들고 정의하며,
숫자들을 연산자로 연결하고 묶어서 수식이라는 것을 만들어 낸다.

더하는 개념을 +로 나타내고
빼는 개념을 -로 나타낸다.
그리고 서로 같다는 것을 =로 나타내어 연산의 기본 식을 만든다.
똑같은 것을 더하는 것을 몇번 하느냐는 개념은 ×로 나타내고
똑같은 것으로 몇번 쪼개거나 빼느냐는 개념은 ÷로 나타낸다.

그렇게 하면
1+1=0+1+1=0+1×2
1+1은 0에 1을 두번 더한다는 뜻인데, 그걸 1에 2를 곱한다는 뜻과 같이 쓴다.
1+1+1=0+1+1+1=0+1×3=3
1+1+1은 0에 1을 세번 더한다는 뜻이며, 1에 3을 곱한다는 뜻과 같이 쓴다.

12-4=(0+4+4+4)-(0+4)=4+4=8
12-4는 0에 4를 세번 더한 것에서 0에 4를 한번 더한 것을 뺀다는 의미인데, 그건 0에 4를 두번 더한다는 의미와 같다.
정리하면 덧셈은 (세번 - 한번 =) 두번이 된다.

12÷3=(0+4+4+4)÷3=(4×3)÷3=4×1=4
12÷3은 0에 4를 세번 더한 것을 셋으로 쪼갠다는 말인데, 4에 3을 곱한 것을 똑같은 크기 셋으로 쪼갠다는 것과 같고,
쪼갠 쪼가리 4가 하나라는 뜻과 같다.
거꾸로 하면 0에 4를 세번 더하면 12가 된다는 말과 같다.
쪼갠다는 말과 합한다는 말은 정 반대의 개념이다.

우리가 초등학교 다니기 전이나 다닐 때 배우는 산수는 단순히 수를 계산하는 것이었다.
그러나 요즘 말하는 수학은 수를 이용하는 학문이다.
다시 말하면 수와 수 사이에 나타나는 많은 연산 관계와 논리 관계를 밝히는 것이다.

그러므로 초등학교 저학년 때는 손가락을 동원하여 계산하는 것에 만족을 하게 되지만,
조금 철(?)이 들고 나서는 그정도로 만족을 할 수는 없다.
세상을 살아가는 데 적용하는 수많은 수학적 원리를 도외시하게 되면
우리에게 돌아오는 불이익이 너무 많다.

경제를 들여다 봐도 수학이요,
각종 통계를 처리하려 해도 수학이요,
과학을 하려해도 수학이요,
공학을 하려고 해도 수학이다.

그렇다면 법학을 하면 수학이 필요없을까?
변리사도 수학이 필요하다.
각종 이과학적인 관련 법정 투쟁에도 수학이 필요하며,
하다 못해 무인 속도 감시 카메라에도 간단한 수학이 숨어있다.

정치를 하면 수학이 필요없을까?
그건 필요 없을지도 모르겠다.
누군가를 시키면 되니까.
군사 작전에도 수학이 필요하며,
항공기를 다루는 데도 수학이 필요하다.

수학을 공부 못하는 사람은 현대 생활에 적응하기 참으로 어렵다.
솔직히 수학적인 머리가 부족하면 대학 들어가는 것부터 어렵다.

수식은 수학을 나타내는 각종 연산작용과 논리 과정과 결과를 나타내 주는 중요한 기호들의 조합이다.
그 조합이 뒤틀리면 도무지 어떤 논리적인 이야기를 꺼낼 수가 없다.
물론 과학은 측정이 있으며,
그 측정에 있는 오차의 한계라고 하는 것과 미미한 효과의 변수가 있어서
수학적인 논리에서 벗어나는 연산을 해도 되는 경우가 있다.
그것은 그 결과로 나오는 수치의 크기가 정확한 수리적인 논리를 이용하여 구한 값과 거의 차이가 나지 않는 경우이다.

그리고 우주를 사람 머리로 재버린 수학적 논리를 가지고
우주를 표현하는 수식을 만들었을 때
새로운 우주의 법칙이 나타나게 되면 이미 만들어 놓은 수식은 잘못된 것이 된다.
게다가 3.5차원의 세계에서 11차원의 M이론을 들먹일 때는 그것이 오만의 극치인지 아닌지
생각해 봐야 한다.

만일에 3,5차원에서 나타나는 M이론이라면 다시 생각해 볼 필요는 있다고 생각한다.
빛의 전기장과 자기장의 상호 유도에 의하여 이동하는 성질은
얼핏 M이론으로 만들어도 되겠다는 생각을 하게 한다.

이제 머리 아픈 이야기는 그만두자.

그래도 약간 머리 아픈 이야기는 해야겠다.
아무래도 교육은 해야하기 때문이고,
그게 수학적인 머리를 써야 할 수식 관련 이야기이기 때문이다.

위에 쓴 덧셈과 뺄셈 그리고 곱셈과 나눗셈 이야기는
단순한 연산을 말하고자 함이 아니다.
논리적 관계를 따져보려고 함이다.
수식에 있어서 논리적인 관계를 알아보는 것은 다양하다.
그러나 정규 교육과정에 있는 것은 대체로 융통성이 없다.

과학고등학교 입시 때에 구술 평가 중 수학 평가를 두 수학 선생님과 함께 맡은 적이 있다.
한 학생이 학교에서 배우지 않은 자기만의 방식으로 문제를 풀었는데,
두 수학 선생님은 그것을 틀렸다고 판단했다.
나는 그게 맞는다고 생각하여 계속 그것을 설명했는데,
두 수학 선생님들은 학생이 증명하기 전에 이미 맞는다고 가정하고 들어간 방식이라고 틀렸다고 했다.
내게는 그가 이미 증명된 것이라고 가정하고 풀어 놓은 게 하나도 보이지 않았다.
단지 생길 수 있는 모든 경우가 몇개 뿐인데,
그 몇개 중에서 가능하지 않은 경우를 모두 제외하고
가능한 것으로 문제를 풀어놓은 것이다.

지금은 문제가 생각나지 않는데,
몇번 설명하자 두 수학 선생님들도 이해가 간다고 하여 정답 처리하였다.

이 경우는 우리가 정규 교육과정 안에서 생각하는 것은
다양한 과정을 모두 이해하는 데 부족하다는 것을 나타내어 준다.
문제를 해결할 수 있는 방법은 다양하다.
그 중에서 누구나 다 알아낼 수 있는 방법이 있는가 하면
창의적인 방법으로 깊게 사유해야만 알 수 있는 방법도 있다.
그리고 그런 창의적인 방법들 중에 새로운 수학적 논리를 개발할 수 있는 기회도 생긴다.

이 블로그의 성격은 창의적인 영재를 만들어 내는 것이며,
간단한 수식에서도 많은 종류의 논리를 이해하고
새로운 관계를 만들어 나가는 능력을 키우는 것이다.

솔직히 많은 사람들은 그런식으로 수식을 파악하는 것을 머리 아파 한다.
그러나 영재들은 그런 관계가 꼬이면 꼬일수록 흥미 진진해지는 경우가 많다.
물론 40대, 50대 쯤 되면 이젠 그런 것을 보면 바로 머리를 돌리고 다른 곳으로 가버린다.
이미 머리가 굳어서 생각이 안되는 것이며,
아무리 포도당을 에너지원으로 생각해도 뇌세포의 미토콘드리아에 과부하가 걸리고,
ATP가 모두 AMP로 변하여 병적인 상태로 된다고 한들
많은 열에너지로 인해 구덩이 속에 빠져서 헛바퀴 도는 자동차 타이어처럼
눈 앞에 흰 연기만 만들고 머리만 뜨거워진다.

중학생 쯤 되면 이런 수식에 있는 논리를 생각해보도록 하는 게 좋다.
그렇게 하면 정보를 저장하는 뇌세포도 늘어나고,
정보를 전달하고 판단하는 데 꼭 필요한 뉴우런의 수도 늘어나며,
가장 높은 수준의 판단을 위한 정보를 판단하는 세포의 근처에 쌓아놓는다.
쉽게 말해서 머리가 좋아진다.