원자와 원자의 결합력에 관한 내용 중에서
학생들을 가르치다 보면 나오는 질문들이 있다.
대단히 영재성이 있는 아이들이다.
다음과 같은 설명을 들은 아이들이 던지는 질문을 보자.

인력과 반발력이 같은 지점에서의 인력과 반발력을 1이라고 하면,
반발력은 1/r⁴에 비례하는데, 인력은 1/r²에 비례하므로
거리가 가까워지면 r값이 1 이하로 되어, 예를 들어 0.1이라고 하면
반발력은 1/0.1⁴이고 인력은 1/0.1²이므로
인력은 작아지고 반발력이 커지므로 두 원자는 밀어낸다.
반면에 더 멀어지면 r이 1 이상이 되어, 예를 들어 10이라고 하면
반발력은 1/10⁴이고 인력은 1/10²이므로
인력은 커지고 반발력은 작아지므로 두 원자는 서로 잡아당긴다.

선생님, 왜 꼭 인력과 반발력이 같은 지점의 r값을 1로 하죠?
각 원자에서 가장 가까운 기본 거리를 갖는 점을 1로 하면 r보다 작은 0.1이라는 개념이 사라지지 않나요?
그렇게 되면 "반발력은 1/0.1⁴이고 인력은 1/0.1²이므로 인력은 작아지고 반발력이 커지므로 두 원자는 밀어낸다."는 말은 성립이 안될 것 같은데....

이럴 때 선생님들께서 어떻게 설명해야 위에 든 예를 아이들이 제대로 알아들을 수 있을까?
선생님들이 골치아픈 아이들은 바로 이런 아이들이다.
그래서 초중등학교 영재 학생들이 가끔 교사로부터 별로 안좋은 시선을 받는 경우가 있다.
가끔은 유치원 아이들도 그런 시선을 받는다.

인력과 반발력이 같기 때문에 무조건 서로 영향을 갖는 힘의 관계도 1, 거리도 1로 놓고, 상수도 1로 놓은 것이다.
그렇게 하면 양쪽의 힘은 모두 1로 같아진다.
사실상 설명을 위해 모든 조건을 단순하게 처리한 것이다.
그런데 그것에 대해 반기를 들거나 의문을 나타내는 학생들에게 어떻게 설명을 해주어야 할 것인가?

그렇다.
아이들은 가장 기본거리를 1로 놓고 계산하면,
반발력은 1/1, 1/10⁴....
인력은 1/1, 1/10²....으로 변한다고 생각한다.
물론 더 똑똑한 학생은 그렇게 생각하지 않고 선생님 편을 든다.
그럴 때 아이들끼리 토론하도록 놓아두고 일단 관찰하는 게 좋다.
자기들끼리 토론해서 결정하고 이해하는 것은 과학자들의 토론 과정과 유사하므로
미리 경험시키는 것이 좋기 때문이다.

그리고 아이들이 제대로 결정을 내렸을 때는
그 의문과 해결의 과정을 모두 요약하여 지적하면서 칭찬해주고,
토론해서 결론 내는 과정이 매우 중요한 탐구, 연구 과정임을 다시 말해주는 것이 좋다.
중간에 잘못 진행될 때는 교사가 잠깐 끼어들어서 무엇이 문제가 있는지 알 수 있도록 질문을 해주는 것이 좋다.

물론 아이들은 "반발력은 1/1, 1/10⁴.... 인력은 1/1, 1/10²....으로 변한다"라는 명제가 잘못되었다는 것을 알아야 한다.
왜냐하면 관측된 결과 인력과 반발력이 똑같은 지점을 기준으로 했기 때문에 가장 간단한 관계에서 모두 1이 되는 것이다.
그것보다 더 가까운 기본 거리를 기준으로 한다면
그 장소에서는 이미 반발력이 인력보다 엄청나게 커다란 힘을 나타내기 때문에
"반발력은 1/1, 1/10⁴.... 인력은 1/1, 1/10²....으로 변한다"는 명제는 당연히 잘못된 것이다.
그것은 때로 단순하게 예를 들어 설명하기 위해서, 반발력이 인력의 100배인 기본거리를 기준으로 할 때,
"반발력은 100/1, 100/10⁴, 100/100⁴.... 인력은 1/1, 1/10², 1/100²....으로 변한다"고 설명할 수 있다.

그리고, 더 이상의 설명에서는 상수의 결정 과정과 두 전하간에 작용하는 힘이 전하량에 비례함을 이야기해주어야 한다.
그러므로 두 단전하의 경우에는 전하량에 비례하는 힘이 어느 경우나 같다는 것도 설명해야 하며,
원자 사이의 힘의 경우에 있어서 왜 두 힘의 비례 관계가 거리의 4제곱과 제곱으로 다른지에 대해서도 설명해주어야 한다.
그러므로 상수도 당연히 달라지게 되고,
상수는 거리의 4제곱 또는 제곱에 비례하게 됨을 가르쳐주어야 한다.

결국 거리가 가까워지면 4제곱에 비례하는 상수는 커지게 되고, 그냥 제곱에 비례하는 상수는 상대적으로 작아진다는 것을 가르쳐주어야 한다.

학생의 질문의 핵심은,
왜 거리를 임의 거리를 1로 하는가? 그렇게 하지 않고 우주에서 허용하는 가장 가까운 기본 거리를 1로 하면 안되는가?라는 것이다.
이 때 대답은,
두 가지의 힘이 똑같은 거리를 기준으로 설명하는 것은 그래야 전후의 커지고 작아지는 관계를 이해하기 쉽기 때문이고,
기준 거리를 가깝게 하면 당연히 두 힘의 크기가 달라져서 실제로 두 값을 측정한 후에 시작하거나,
위에 쓴 바와 같이 임의대로 그 관계가 유지되는 값을 주어서 비교하는 수밖에 없다고 얘기하는 것이다.
임의대로 그 관계가 유지되는 값을 주어서 비교하는 이유는
그 기준점에서 두 가지 힘을 실제로 측정할 수 없기 때문이다.

그러므로 학생이 이해해야 하는 것은 두 힘의 관계는 아무리 가까운 곳에서 비교를 하기 시작한다고 해도
우주에서는 이미 그 힘의 관계가 결정되어 있으며, 우리는 그 관계를 이해하는 것에 학습의 목적이 있다고 말하는 것이다.

그렇다면 인력은 r값의 제곱에 역비례하는데, 왜 반발력은 r값의 4제곱에 역비례하는가?
그것은 대체적인 상황을 들음으로써 짐작할 수 있다.
즉 원자의 인력은 1개의 국소(또는 점) 장소에 있는 핵과 상대 원자의 주변에 퍼져 있는 전자들과의 관계인데,
그것의 힘의 작용 각도는 별로 크지 않으며 거리가 조금 먼 상태라면 거의 일직선이라고 해도 무방하다.
그러므로 그냥 점 전하와 점전하의 관계로 볼 수 있다.

반발력은 핵과 상대 원자의 핵 그리고 전자들과 상대 원자의 전자들의 관계인데, 복잡하다.
한 원자의 핵과 다른 원자의 핵은 간단하게 1/r²이라고 할 수 있다.
그러나 한 원자의 전자와 다른 원의 전자들 간의 관계는 복잡하다.
즉 한 원자의 전자는 그 원자 주변을 돌고 있고,
가장 가까울 때와 가장 멀 때가 상황이 완전히 다르다.
서로 가장 멀 때는 반발력이 거의 없다.
서로 가장 가까울 때는 굉장히 크다.

전체적으로 보면 다음과 같은 6종류의 반발력이 존재한다.
1. 가장 먼 곳에 있는 전자끼리의 반발력
2. 가장 가까운 곳에 있는 전자끼리의 반발력
3. 중간에 있는 전자끼리의 반발력
4. 두 원자 사이의 중심에 가장 가까운 전자와 가장 먼 전자와의 반발력
5. 두 원자 사이의 중심에 가장 가까운 전자와 중간에 있는 전자와의 반발력
6. 두 원자 사이의 중심에 가장 먼 전자와 중간에 있는 전자와의 반발력

이것들은 수학적으로 계산할 수 없다.
그 이유는 그 전자들이 가만히 있는 것이 아니라,
여러 형태의 운동을 하면서 쉬지 않고 움직이기 때문이고,
핵에 가려져서 서로 반발하는 관계가 사라지는 때도 있기 때문이다.

이런 것들은 실험적인 관계를 바탕으로 계산할 수 밖에 없다.
그것이 거리의 4제곱에 역비례하는 관계인 것이다.

흔히 교사들도 반발력은 거리의 제곱에 역비례하는 것으로 알고 있는 사람들이 많다.
그러나, 그것은 점점하일 경우에만 그렇다.
물론 원자 간의 인력도 마찬가지이며,
정확하게 따진다면 거리의 제곱에 그냥 비례하는 것은 아닐 것이라고 생각할 수 있다.

이 것은 전하를 띠는 입자가 아닌,
양전하와 음전하를 동시에 갖는 입자들 사이에 나타나는 현상이다.
제대로 된 식을 가르치는 것은 물리와 화학을 잘 섭렵한 교사들이 할 수 있으며,
중고등학교 영재 수업에서 그것이 그렇게 중요한 것은 아니다.

*학생들을 가르칠 때 수식에 1과 같은 상수를 넣어주는 것은 가장 간단한 식으로 만들어서 학생들이 쉽게 알아볼 수 있도록 하는 수법이다. 그런데 그런 수법에는 문제가 있을 수도 있기 때문에 전후 관계를 잘 따져봐야 한다. 여기서는 관측된 사실을 기본으로 해야 하고, 그것이 가장 중요하며, 이론이 관측된 사실을 부정할 수 없다는 것을 가르쳐주어야 한다. 즉, 이론은 사실을 부정할 수 없다는 것이다. 가끔은 교사들이 너무 수식을 수학적으로만 설명하려다가 지도에 실패하는 경우가 많다. 역사를 봐도 어느 누구나 처음에 개념을 잡고 이해를 위해서 실험적 사실을 바탕으로 정성적인 이해를 먼저 한 후에 수식화하려는 시도를 했음을 알 수 있다. 일단의 이해가 있은 후에는 할 수 있는 학생들을 대상으로 수학적인 시도를 해도 괜찮다. 그들은 오히려 그것도 매우 필요한 과정이 될 것이다.